已知三角形ABC的三边a.b.c的倒数成等差数列,试分别用综合法与分析法证明角B为锐角

【注：只想到了一种方法】【1】由题设可知：1/a,1/b,1/c成等差数列,∴2/b=(1/a)+(1/c).===>2/b=(a+c)/(ac).====>(a+c)b=2ac.结合基本不等式可知：a+c≥2√(ac).∴2ac=(a+c)b≥2b√(ac).===>√(ac)≥b.===>ac≥b².====>a²+c²≥2ac＞ac≥b².===>a²+c²-b²＞0.【2】在⊿ABC中,由余弦定理可得：cosB=(a²+c²-b²)/(2ac).由2ac＞0及前面的a²+c²-b²＞0可知,cosB＞0.再结合0＜B＜π.可知,∠B为锐角.

此题用反证法证明比较容易。用反证法证明如下：
证明：因为a.b.c的倒数成等差数列，所以1/a+1/c=2/b。假设角B不是锐角，即角B是直角或钝角，那么角B是三角形ABC的最大的内角，即B>A,B>C.所以01/b,1/c>1/b.两式相加得，1/a+1/c>1/b+1/b=2/b.这与1/a+1/c=2/b矛盾。所以假设不成立。故角B为锐角。...