如图,在四棱锥P_ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,F是PB的中点.求证：DF⊥AP

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清风爱明月 幼苗

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令PA的中点为E.
∵PD⊥平面ABCD,∴AB⊥PD.
∵ABCD是正方形,∴AB⊥AD.
由AB⊥PD、AB⊥AD、PD∩AD＝D,得：AB⊥平面PAD,∴AB⊥PA,又F∈PB且PF＝BF,
∴PF＝AF,而E∈PA且PE＝AE,∴AP⊥EF.
∵ABCD是正方形,∴AD＝DC,又PD＝DC,∴AD＝PD,又E∈PA且PE＝AE,∴AP⊥DE.
由AP⊥EF、AP⊥DE、EF∩DE＝E,∴AP⊥平面DEF,∴DF⊥AP.

1年前 追问

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twinkswallow 举报

为什么PF=AF？

举报 清风爱明月

∵在Rt△PAB中，斜边上的中线长等于斜边长的一半，而F是斜边PB的中点， ∴AF＝（1/2）PB＝PF。
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