自然数N被2、3、4、5、6、7、8、9整除，前四位为2007．N的最小值为 ______．

解题思路：此题首先由已知，可以知道能被8整除的一定能被2，4整除，能被9整除的一定能被3整除，而能被8，9整除的数一定能被6整除，
实际就是求能被5，7，8，9整除得N的最小值．然后根据初等数论的知识：一个自然数N的各位数字相加所得到的和如果能被9整除，则N可以被9整除，如果N的后3位能被8整除，则N能被8整除讨论．

由已知，能被8整除的一定能被2，4整除，能被9整除的一定能被3整除，而能被8，9整除的数一定能被6整除，因此题目就化为N能被5，7，8，9整除的最小值．
一个自然数N的各位数字相加所得到的和如果能被9整除，则N可以被9整除，如果N的后3位能被8整除，则N能被8整除，如果N的最后一位能被5整除，则N能被5整除．
根据以上分析，先由能被2，5整除，末位应为0．能被8整除，所以后三位出现8．能被9整除，2+7+8+1=18．即此数含1，所以可能出现的数为20071800，20070810，20070180，而20070810和20070180不能被8整除．再试除：20071800÷7=2867400．
所以N的最小值为 20071800．
故答案为：20071800．

点评：
本题考点： 数的整除性．

考点点评： 此题考查了学生运用数的整除及初等数论的知识解答问题的能力．解答此题的关键是知道可以知道能被8整除的一定能被2，4整除，能被9整除的一定能被3整除，而能被8，9整除的数一定能被6整除及能被2，5整除，末位应为0．本题较难．

9!|N等价于 40*63=2520|2007…0，252|2007x（x表示后几位数，不是乘法），9|x，4|x，所以可设x=36*y，x、y为“n位整数”（首位可以为0，n不小于2），问题变成要处理7|2700x，即7|(y+5*3^n)。当n=2时，7|(y+3)，y不小于4，x为3位数，矛盾。当n=3时，7|(y+2)，y最小可取为“005”，这时x为180。所以所求最小N为2007180...

2007600