已知二次函数的图象与x轴的两个交点间的距离为1，若将此函数的图象向上平移1个单位，则它与x轴仅有一个公共点；若将它向下平

解题思路：设所求二次函数的解析式为y=ax²+bx+c，先利用根与系数的关系以及抛物线y=ax²+bx+c与x轴的两个交点间的距离为1，得出a，b关系的等式，进而利用顶点的纵坐标得出a，b的等式求出即可，进而得出a，b，c的值．

设所求二次函数的解析式为y=ax²+bx+c，
∵y=ax²+bx+c与x轴的两个交点间的距离为1，设两交点为：（x₁，0），（x₂，0），
∴|x₁-x₂|=1，
∴（x₁-x₂）²=1，
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=1，
∴（-[b/a]）²-4×[c/a]=1①，
∵将抛物线y=ax²+bx+c向上平移一个单位，则它与x轴只有一个公共点；
∴
4ac−b2
4a=-1，
∵将抛物线y=ax²+bx+c向下平移一个单位，则它经过原点，
∴c=1②，
∴
4a−b2
4a=-1，
∴8a=b²③，
把②、③代入①，得
∴[8a
a2-4×
1/a]=1，
解得：a=4，
∴
4×4−b2
4×4=-1，
解得：b=±4
2，
故此二次函数的解析式为y=4x²+4
2x+1或y=4x²-4
2x+1．

点评：
本题考点： 二次函数图象与几何变换．

考点点评： 此题主要考查了二次函数图象与几何变换，抛物线的性质，二次函数与x轴交点以及根与系数的关系，得出a，c的值是解题的关键．