若P1与P2皆为向量空间X上的次线性泛函,且C1与C2是正常数,证明：C1P1+C2P2是X上的次线性函数.

根据线性泛函的、定义和性质：
线性泛函乘以1个常数还是线性泛函；
两个线性泛函之和还是线性泛函.
设X是数域K上的向量空间,在X上的范数||● ||是一个非负值函数:X→R1满足
1||x||≥0(对任意x∈X);||x||=0x=θ
2)||x+y||≤||x||+||y||(对任意x,y∈X)
3)||λx||≤|λ|||x||(对任意λ∈K,x∈X)称(X,|| ● ||)为赋范空间,或称为B*空间.完备的B*空间叫做B空间或Banach空间.
向量空间到向量空间的映射称作算子.设X、Y是同一数域K上的两个向量空间,如果算子T满足:
1)T的定义域D(T)是X的向量子空间,T的值域R(T)包含在Y中;
2)对于所有x,y∈D(T),任意λ∈K,有T(x+y)=Tx+Ty,T(λx)=λTx成立,则称T是线性算子.
设p:X→R1
是向量空间X上的一个函数,若它满足
1)p(x+y)≤p(x)+p(y)(对任意x,y∈X)
2)p(λx)≤λp(x)(对任意λ>0,x∈X)则称p为向量空间X上的一个次线性泛函.