已知函数 f(x)=lo g a (a x 2 -x+ 1 2 ) 在 [ 1 2 ，2] 上恒为正，则实数a的取值范围

当0＜a＜1时，
若函数f（x）=log _a （ax ² -x+
1
2 ）（a＞0且a≠1）在[
1
2 ，2]上恒正
即0＜ax ² -x+
1
2 ＜1在[
1
2 ，2]上恒成立，
∴
1
x -
1
2 x 2 ＜a＜
1
x +
1
2 x 2
而
1
x -
1
2 x 2 在[
1
2 ，2]上的最大值为
1
2 ，
1
x +
1
2 x 2 在[
1
2 ，2]上的最小值为
5
8
∴此时
1
2 ＜a＜
5
8
当a＞1时，函数f（x）=log _a （ax ² -x+
1
2 ）（a＞0且a≠1）在[
1
2 ，2]上恒正
则ax ² -x+
1
2 ＞1在[
1
2 ，2]上恒成立，
即a＞
1
x +
1
2 x 2 在[
1
2 ，2]上恒成立
而
1
x +
1
2 x 2 在[
1
2 ，2]上的最大值为4
∴此时a＞4
故答案为：（
1
2 ，
5
8 ）∪（4，+∞）