如图，点O为正方形ABCD的中心，AB=12，点E在BC边上，以AE为边作等边三角形AEF．

解题思路：（1）证得Rt△ABE≌Rt△ADF，得出DF=BE，设BE为x，再进一步利用勾股定理求得EF，最后在直角三角形△ABE中利用勾股定理，建立方程求得结论；
（2）利用O为正方形ABCD的中心和等边三角形AEF的中心，求得OA，O到等边三角形AE的距离，进一步求得AE的长，在直角三角形△ABE中利用勾股定理求得结论．

（1）如图，

∵四边形ABCD是正方形，△AEF为等边三角形，
∴AB=AD，∠B=∠D=90°，AE=EF=FA，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，


AB＝AD
AE＝AF
∴Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴DF=BE，
∴CE=CF，
设BE=x，则CE=CF=12-x，
则EF=
CE2+CF2=
2（12-x）；
在Rt△ABE中，
AB²+BE²=AE²，
即12²+x²=[
2（12-x）]²
整理得；
x²-48x+144=0，
解得x₁=24-12
3，x₂=24+12
3（不合题意舍去），
即BE=24-12
3，
（2）如图，

过点O作OG⊥AB、OH⊥AE，垂足分别为G、H，
∵点O为正方形ABCD的中心，
∴AG=OG=[1/2]AB=6
∴OA=
AG2+OG2=6
2，
∵O是等边△AEF的中心，
∴∠AOH=60°，AH=[1/2]AE，
∴∠OAH=30°，
∴OH=[1/2]OA=3
2，
则AH=
OA2−OH2=3
6
∴AE=6
6，
在△AEB中，
BE=
AE2−AB2=6
2．

点评：
本题考点： 正方形的性质；等边三角形的性质．

考点点评： 此题考查正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理的运用，以及正多边形中点的意义等知识点．