函数f(x)在[0,1]上连续在(0,1)内可导且f(0)=0 证明存在a 使得af'(a)+2f(a)=f'(a

函数f(x)在[0,1]上连续在(0,1)内可导且f(0)=0 证明存在a 使得af'(a)+2f(a)=f'(a)
求步骤

sky_7788 1年前已收到4个回答举报

臭臭的aa 花朵

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考虑函数F(x)=（x-1）^2*f(x),在[0,1]上满足罗尔定理条件,故存在一点a ,使得F'(a)=0
就得2（a-1）f(a)+(a-1)^2*f'(a)=0,化简得结论等式.

1年前

柳晗儿幼苗

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当a趋近于0时，lim左边=lim （0+2f(a)）=lim 2f(a)=2f(0)=0
lim右边=lim （f(a)-f(0)）/a-0=lim f(a)/a=lim 0/a=0
所以左边=右边

1年前

夜猫杂某幼苗

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令g(x)=（1-x)*f'(x)反证，若不存在a满足条件，则只有g恒大于2f，或者2f恒大于g；对于前者，由于f(0)=0，则有f'(0+) 〉0，有导数定义知f在0的领域附近为正，并推出f为正，又有f更大于0，f'=2f(1-x)大于0。。。。如此反复可以证明f在0到1之间是正数，但又g(1)=0可知，2f(1)〈0，矛盾；同理可证明后者即2f恒小于g的情况下也是不成立的。综上述可知，存在a...

1年前

tony515555 幼苗

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没有仔细证明，但是感觉可能要用柯西中值定理，你试一试，有可能证出来

1年前

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你能帮帮他们吗

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