已知二次函数f(x)＝ax2+bx+12满足f（1+x）=f（1-x）且方程f(x)＝52−x有等根

解题思路：（1）由已知中f （1+x）=f （1-x），可得f（x）的图象关于直线x=1对称，结合方程f （x）=x有等根其△=0，我们可构造关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值，即可得到f （x）的解析式；
（2）因为二次函数的对称轴方程为x=1，且（1）中求出的二次函数开口向下，所以对t进行分类讨论，当t≤1时，函数在（-1，t]上为增函数，函数的最大值为f（t），由f（t）=1求t的值，当1＜t＜3时，函数的最大值为f（1），看f（1）是否等于1，当t≥3时，函数有最小值，与题意不符；
（3）由（1）中函数的解析式，若f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[2m，2n]，我们分n≤1，m≥1，及m＜1、n＞1三种情况讨论，根据函数在[m，n]的单调性，进而构造出满足条件的方程，解方程即可得到答案．

（1）∵f（x）满足f（1+x）=f（1-x），∴f（x）的图象关于直线x=1对称．
而二次函数f（x）的对称轴为x=−
b
2a，∴−
b
2a=1．①
又f（x）=[5/2]-x有等根，即ax²+（b+1）x-2=0有等根，∴△=（b+1）²+8a=0．②
由①，②得 b=1，a=-[1/2]．
∴f（x）=-[1/2]x²+x+[1/2]．
（2）∵函数f（x）=-[1/2]x²+x+[1/2]的对称轴方程为x=1，
若t≤1，f（x）在（-1，t]上为增函数，此时f(−1)＝−
1
2(−1)2+(−1)+
1
2＝−1
由f(t)＝−
1
2t2+t+
1
2＝1，得：（t-1）²=0，∴t=1
若1＜t＜3，则f(x)max＝f(1)＝−
1
2×12+1+
1
2＝1
若t≥3，f（x）_min=f（t），与题意不符
所以f（x）在定义域（-1，t]上的值域为（-1，1]的t的取值范围是[1，3）．
（3）如果存在满足要求的m，n（m＜n）使得f（x）定义域和值域分别为[m，n]和[2m，2n]，
那么当m＜n≤1时，有

f(m)＝2m
f(n)＝2n，即

点评：
本题考点： 函数解析式的求解及常用方法；函数的定义域及其求法；函数的值域．

考点点评： 本题考查考查了函数解析式的求解及常用方法，考查了函数定义域及值域的求法，重点考查了分类讨论的数学思想，对于存在性问题可先假设其存在，然后推出正确的解答或得出矛盾．