已知f（x）=x3+3ax2+bx+a2，在x=-1时有极值0

解题思路：（1）求出函数f（x）的导函数，由f（x）=x³+3ax²+bx+a²在x=-1时有极值O，则f（-1）=0，f′（-1）=0，两式联立可求常数a，b的值；
（2）把a，b代入后得到函数解析式，运用函数的导函数大于0和小于0求解函数f（x）的单调区间；
（3）求出函数f（x）的极值，再求出f（-4）和f（0），结合函数的单调性作出函数图象的大致形状，数形结合可求得实数C的范围．

（1）由f（x）=x³+3ax²+bx+a²，得：f′（x）=3x²+6ax+b
因为f（x）=x³+3ax²+bx+a²在x=-1时有极值O，所以

f′(−1)＝0
f(−1)＝0，
即

3−6a+b＝0
−1+3a−b+a2＝0，解得：

a＝1
b＝3或

a＝2
b＝9．
当a=1，b=3时，f（x）=x³+3x²+3x+1，
f′（x）=3x²+6x+3=3（x²+2x+1）=3（x+1）²≥0
所以函数f（x）=x³+3x²+3x+1在（-∞，+∞）上为增函数，
不满足在x=-1时有极值O，应

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值，函数在某区间上的导函数大于0，函数在该区间上为增函数，函数在某区间上的导函数小于0，函数在该区间上为减函数，考查了数形结合的解题思想，同时训练了函数在极值点处的导数等于0，此题是中档题．