设随机变量X与Y相互独立且分别服从正态分布N（μ，σ2）与N（μ，2σ2），其中σ是未知参数且σ＞0，设Z=X-Y．

（I）
因为X，Y相互独立且均服从于正态分布，所以Z=X-Y也服从于正态分布．
又因为：
E（Z）=E（X-Y）=E（X）-E（Y）=μ-μ=0，
D（Z）=D（X-Y）=D（X）+D（Y）=3σ²，
所以：Z～N（0，3σ²），
从而可得Z的概率密度为：
fZ(z，σ2)=
1

2π
3σe−
z2
2•3σ2=
1

6πσe−
z2
6σ2，-∞＜z＜+∞．

（II）
σ²的最大似然函数为：
L（σ²）=

n
π
i＝1f(zi；σ2)=

n
π
i＝1(
1

6πσe−
zi2
6σ2)，-∞＜z_i＜+∞，i=1，2，…，n．
两边取对数，得：
ln L（σ²）=
n

i＝1(−ln
6π−
1
2lnσ2−
zi2
6σ2)，
对上式两边求导，得：

d lnL(σ2)
dσ2=
n

i＝1(−
1
2σ2+
zi2
6(σ2)2)=[1
6(σ2)2(−3nσ2+
n/
i＝1zi2)．
令：
d lnL(σ2)
dσ2]=0，
可得：σ²=
1
3n
n

i＝1zi2，
所以σ²的极大似然估计量为：

σ2=
1
3n
n

i＝1zi2．

（III）
因为：E

σ2=[1/3n]
n

i＝1E(zi2)=[1/3n•nE(Z2)=
1
3]（D（Z）+（E（Z））²）=[1/3]（3σ²+0）=σ²，
所以

σ2为σ²的无偏估计．

点评：
本题考点： 最大似然估计法；数学期望的性质及其应用；方差的性质及其应用；无偏估计．

考点点评： 本题综合考察了数学期望的性质、方差的性质、最大似然估计法以及无偏估计等知识点，综合性较强．