已知函数f(x)＝ax−1x−lnx，a∈R，x∈[12，2]．

f（x）的定义域为[
1
2，2]，f′(x)＝a+
1
x2−
1
x…（2分）
（1）当a=-2时，在x∈[
1
2，2]，f′(x)＝−
(2x−1)(x+1)
x2≤0，…（4分）
所以f（x）在区间[
1
2，2]上单调递减，…（6分）
故f(x)max＝f(
1
2)＝ln2−3．…（7分）
（2）存在a∈(−∞，
1
6)符合条件．
解法一：据题意在y=g（x）=[f（x）+lnx]•x²=ax³-x图象上总可以找到一点P₀（x₀，y₀）使以p为切点的切线平行图象上的任意两点的连线，…（9分）
即存在k＝
y1−y2
x1−x2＝
g(x1)−g(x2)
x1−x2＝g′(x0)＝3ax02−1＜1恒成立，…（12分）
因为x0∈[
1
2，2]，所以x02∈[
1
4，4]，所以a＜(
2
3x02)min=[1/6]…（14分）
故存在a∈(−∞，
1
6)符合条件．…（15分）
解法二：g（x）=[f（x）+lnx]•x²=ax³-x，不妨设任意不同两点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）其中x₁＜x₂，则k＝
y1−y2
x1−x2＝

点评：
本题考点： 函数恒成立问题；函数的最值及其几何意义．

考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，考查导数的几何意义，考查恒成立问题，考查分离参数法的运用，属于中档题．