（2012•济南）如图1，在菱形ABCD中，AC=2，BD=23，AC，BD相交于点O．

（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴△AOB为直角三角形，且OA=
1
2AC=1，OB=
1
2BD=
3．
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
AB=
OA2+OB2=
12+(
3)2=2．

（2）①△AEF是等边三角形．理由如下：
∵由（1）知，菱形边长为2，AC=2，
∴△ABC与△ACD均为等边三角形，
∴∠BAC=∠BAE+∠CAE=60°，
又∵∠EAF=∠CAF+∠CAE=60°，
∴∠BAE=∠CAF．
在△ABE与△ACF中，
∵

∠BAE＝∠CAF
AB＝AC＝2
∠EBA＝∠FCA＝60°，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴AE=AF，
∴△AEF是等腰三角形，
又∵∠EAF=60°，
∴△AEF是等边三角形．
②BC=2，E为四等分点，且BE＞CE，
∴CE=
1
2，BE=
3
2．
由①知△ABE≌△ACF，
∴CF=BE=
3
2．
∵∠EAC+∠AEG+∠EGA=∠GFC+∠FCG+∠CGF=180°（三角形内角和定理），
∠AEG=∠FCG=60°（等边三角形内角），
∠EGA=∠CGF（对顶角）
∴∠EAC=∠GFC．
在△CAE与△CFG中，
∵

∠EAC＝∠GFC
∠ACE＝∠FCG＝60°，
∴△CAE∽△CFG，
∴
CG
CE＝
CF
AC，即
CG

1
2＝

3
2
2，
解得：CG=
3
8．

点评：
本题考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质．

考点点评： 本题是几何综合题，综合考查了相似三角形、全等三角形、四边形（菱形）、三角形（等边三角形和等腰三角形）、勾股定理等重要知识点．虽然涉及考点众多，但本题着重考查基础知识，难度不大，需要同学们深刻理解教材上的基础知识，并能够熟练应用．