等边△ABC的三个顶点都在圆O上,P是弧BC上的一点,求证：PA=PB+PC

等边△ABC的三个顶点都在圆O上,P是弧BC上的一点,求证：PA=PB+PC
不要用太高级的解法。
山岚中的花 1年前 已收到3个回答 举报
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xuebao99 幼苗

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∵△ABC是等边△,∴各个内角=60°,
设△ABC的边长=a,则面积=﹙√3／4﹚a²,
由同弧所对的圆周角相等得：∠BPA=∠CPA=60°,∴∠BPC=120°,
由余弦定理得：①a²=PB²＋PC²－2PB×PCcos120°,
由面积关系得：四边形ABPC面积=△BPA面积＋△CPA面积=△ABC面积＋△BCP面积,
∴②½PA×PBsin60°＋½PA×PCsin60°=﹙√3／4﹚a²＋½PB×PCsin120°,
将①代入②化简得：PA=PB＋PC

1年前 追问

8

山岚中的花 举报

这是初三数学的一道题，你说的解法好复杂啊。我们还没学过呢。

举报 xuebao99

这是用面积关系证明托勒密定理，已经是很简便的方法了。你可以在网上搜初等几何的证明方法，

弑破狼 幼苗

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托勒密定理
PA*BC=PB*AC+PC*AB
=>AP*BC=(PB+PC)*BC=>PA=PB+PC
初等证明：
在PA上截取PM=PA
角APB=角ACB=60 =>三角形AMP为等边三角形
=>AM=AP
AB=AC
角BAC=角MAP=60=>角BAM=CAP
=>三角形BAM全等于三角形CAP=>BM=PC
=>PA=PM+MB=PA+PB

1年前

1

陶陶子 幼苗

共回答了190个问题 举报

根据托勒密定理有:PA*BC=BP*AC+PC*AB,
又BC=AC=AB,∴PA=PB+PC

1年前

1
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