（2013•杭州二模）已知函数f（x）=-x3+ax（a＞0）．

（Ⅰ）当a=1时，f（x）=）=-x³+x，f（-1）=1-1=0，即点P在曲线y=f（x）上，
f′（x）=-3x²+1，切线斜率k=f′（-1）=-3+1=-2，
所以与曲线y=f（x）相切的直线方程为：y=-2（x+1），即y=-2x-2；
（Ⅱ）[1/4x−
1
4≤f(x)≤
1
4x+
1
4]，即[1/4x−
1
4≤−x3+ax≤
1
4x+
1
4]，
等价于[1/4x−
1
4≤−x3+ax恒成立，且−x3+ax≤
1
4x+
1
4]恒成立，
（1）当x=0时，[1/4x−
1
4≤−x3+ax，即−
1
4≤0，显然成立，a∈R；
当0＜x≤1时，a≥x²-
1
4x]+[1/4]，而x²-[1/4x]+[1/4]在（0，1]上递增，
所以当x=1时，x²-[1/4x]+[1/4]取得最大值1，所以a≥1，
故[1/4x−
1
4≤−x3+ax恒成立时，a≥1；
（2）当x=0时，−x3+ax≤
1
4x+
1
4]，即0≤
1
4，显然成立，此时a∈R；
当0＜x≤1时，a≤x²+
1
4x+[1/4]，
令h（x）=x²+
1
4x+[1/4]，则h′（x）=2x-

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 本题考查利用导数求曲线上某点处的切线方程、求函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，恒成立问题往往转化为函数最值解决．

1年前

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