如图，几何体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°，AB=a，面B 1 C

（I）证明：连接BD，交AC于O，因为四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°，所以BD=a
因为BB ₁ 、CC ₁ 都垂直于面ABCD，∴BB ₁ ∥ CC ₁ ，又面B ₁ C ₁ D ₁ ∥ 面ABCD，∴BC ∥ B ₁ C ₁
所以四边形BCC ₁ B ₁ 为平行四边形，则B ₁ C ₁ =BC=a
因为BB ₁ 、CC ₁ 、DD ₁ 都垂直于面ABCD，则 D B 1 =
D B 2 +B B 1 2 =
a 2 +2 a 2 =
3 a DE=
D C 2 +C E 2 =
a 2 +
a 2
2 =

6 a
2 ， B 1 E=
B 1 C 1 2 + C 1 E 2 =
a 2 +
a 2
2 =

6 a
2
所以 D E 2 + B 1 E 2 =
6 a 2 +6 a 2
4 =3 a 2 =D B 1 2
所以△DB ₁ E为等腰直角三角形；


（II）取DB ₁ 的中点H，因为O，H分别为DB，DB ₁ 的中点，所以OH ∥ BB ₁
以OA，OB，OH分别为x，y，z轴建立坐标系，
则 D(0，-
a
2 ，0)，E(-

3
2 a，0，

2
2 a)， B 1 (0，
a
2 ，
2 a)，F(

3
4 a，
a
4 ，0)
所以

D B 1 =(0，a，
2 a)，

DE =(-

3
2 a，
a
2 ，

2
2 a)，

DF =(

3
4 a，
3
4 a，0)
设面DB ₁ E的法向量为

n 1 =( x 1 ， y 1 ， z 1 ) ，
则

n 1 •

D B 1 =0，

n 1 •

DE =0 ，即 a y 1 +
2 a z 1 =0 且 -

3
2 a x 1 +
a
2 y 1 +

2
2 a z 1 =0
令z ₁ =1，则

n 1 =(0，-
2 ，1)
设面DFE的法向量为

n 2 =( x 2 ， y 2 ， z 2 ) ，
则

n 2 •

DF =0，

n 2 •

DE =0 即

3
4 a x 2 +
3
4 a y 2 =0 且 -

3
2 a x 2 +
a
2 y 2 +

2
2 a z 2 =0
令x ₂ =1，则

n 2 =(1，-

3
3 ，
2
6
3 )
则 cos＜

n 1 ，

n 2 ＞=


n 1 •

n 2
|

n 1 ||

n 2 | =


6
3 +
2
6
3

3 ×
1+
1
3 +
8
3 =

2
2 ，则二面角B ₁ -DE-F的余弦值为

2
2 ．