如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2BC=2BB1，沿平面C1BD把这个长方体截成两个几何体：
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2BC=2BB1，沿平面C1BD把这个长方体截成两个几何体：
（Ⅰ）设几何体（1）、几何体（2）的体积分为是V1、V2，求V1与V2的比值；
（Ⅱ）在几何体（2）中，求二面角P-QR-C的正切值．
（Ⅰ）设几何体（1）、几何体（2）的体积分为是V1、V2，求V1与V2的比值；
（Ⅱ）在几何体（2）中，求二面角P-QR-C的正切值．
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解题思路：（Ⅰ）设BC=a，则AB=2a，BB1=a，分别计算V1、V2，即可求V1与V2的比值；
（Ⅱ）在几何体（2）中，由点C作CH⊥QR于点H，连结PH，证明∠PHC是二面角P-QR-C的平面角，即可求二面角P-QR-C的正切值．
（Ⅱ）在几何体（2）中，由点C作CH⊥QR于点H，连结PH，证明∠PHC是二面角P-QR-C的平面角，即可求二面角P-QR-C的正切值．
（ I）设BC=a，则AB=2a，BB1=a，
所以VABCD−A1B1C1D1＝2a×a×a＝2a3---------（2分）
因为V2＝
1
3S△CQR×PC＝
1
3×
1
2×2a×a×a＝
1
3a3--------------------------（4分）V1＝VABCD−A1B1C1D1−V2＝2a3−
1
3a3＝
5
3a3----------------------（5分）
所以
V1
V2＝
5
3a3
1
3a3＝5------------（6分）
（II）由点C作CH⊥QR于点H，连结PH，
因为PC⊥面CQR，QR⊂面CQR，
所以PC⊥QR．
因为PC∩CH=C，
所以QR⊥面PCH，
又因为PH⊂面PCH，
所以QR⊥PH，
所以∠PHC是二面角P-QR-C的平面角--------------------（9分）
而CH•QR＝CQ•CR，CH×
5a＝a×2a，CH＝
2a
5
所以tan∠PHC＝
a
2a
5＝
5
2----------------------------------------------（12分）
点评：
本题考点： 与二面角有关的立体几何综合题；组合几何体的面积、体积问题．
考点点评： 本题考查几何体体积的计算，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
1年前
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