下列命题正确的是（　　）A．若函数f（x）在x=a处连续，则函数f（x）在x=a的邻域内连续B．若函数f（x）在x=a处

选项D正确：
由微分中值定理得f（x）-f（a）=f′（ξ）（x-a），其中ξ介于a与x之间．
因为
lim
x→af′(x)存在，
所以
lim
x→a
f(x)−f(a)
x−a=
lim
x→af′(ξ)=
lim
ξ→af′(ξ)存在，
故f（x）在x=a处可导．
选项A、B、C均不正确．
A的反例：令f（x）=

0，x为有理数
x3，x为无理数，则f（x）仅在x=0处连续，其他点处均间断．
B的反例：取f（x）同A，则函数f（x）仅在x=0处可导；因为该函数在除x=0外的点处均间断，故也不可导．
C的反例，令f（x）=

x2sin
1
x，x≠0
0，x＝0，则f（x）处处可导，且f′（x）=

2xsin
1
x−cos
1
x，x≠0
0，x＝0，
但是
lim
x→0f′(x)不存在，所以f′（x）在x=0处不连续．
综上，正确选项为D．
故选：D．

点评：
本题考点： 微分中值定理的综合应用．

考点点评： 本题考查了导数的定义以及微分中值定理的应用，具有一定的综合性．对于错误的选项，能够举出反例，以便更好的理解函数连续、可导的定义、性质以及之间的关系．