如图,已知在正方形ABCD中,∠EDF=45°,求证:EF=AE+CF

延长BC至H,使得CH=AE,连接DH
在三角形DCH和三角形DAE中,可以证明这两三角形全等,则：
∠HDC=∠ADE----------------------------(1)
DE=DH ------------------------------------(2)
因为：∠EDF=45°,所以∠ADE＋∠CDF=45°
所以：∠HDF=∠HDC＋∠CDF=∠ADE＋∠CDF=45° --------------------------(3)
在三角形DHF和三角形DEF中,有：
∠HDF=∠EDF
DF=DF
DH=DE
则这两个三角形全等,所以：
EF=HF=HC＋CF=AE＋CF

可以将△ADE顺时针旋转90度后为△CDE'
求得△DEF全等于△DFE'
就可证得EF=AE+CF

延长BA至G，使AG=CF，连DG
易证△ADG≌△CDF
∴∠ADG=∠CDF，DG=DF
∴∠EDG=45°=∠EDF
又DE=DE
∴△EDG≌△EDF
∴EF=EG=AG+AE=AE+CF
得证

证明：将△DAE顺时针旋转90º，得到△DCG。

∴GC=AE，∴GF=AE+CF.

∵∠GDE=90°(旋转角),∠EDF=45°,

∴∠GDF=45°,∴∠GDF=∠EDF,

又DG=DE，DF=DF，

∴△DGF≅△DEF，∴EF=GF，

∴EF=AE+CF

将△DCF逆时针旋转90度后为△DAG,,则角GDE=45度，在ΔGDE和ΔFDE中，DG=DF,DG为公共边，角GDE=角FDE,所以ΔGDE和ΔFDE全等，可证EF=EG=GA+AE,即EF=AE+CF