赞 zy791218 春芽
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sin²A＋sin²B＋sin²C
＝sin²A＋sin²B＋sin²(A+B)
＝sin²A＋sin²B＋(sinAcosB+cosAsinB)²
＝sin²A＋sin²B＋sin²Acos²B＋cos²Asin²B＋2sinAcosAsinBcosB
＝sin²A＋sin²B＋(1-cos²A)cos²B＋cos²A(1-cos²B)＋2sinAcosAsinBcosB
＝2-2cos²Acos²B＋2sinAcosAsinBcosB
＝2-2cosAcosB(cosAcosB-sinAsinB)
＝2-2cosAcosBcos(A+B)
＝2+2cosAcosBcosC
所以,若sin²A+sin²B+sin²C=2,则cosAcosBcosC=0,其中一个角是直角,所以△ABC是直角三角形
PS：类似的,若sin²A+sin²B+sin²C＜2或sin²A+sin²B+sin²C＞2,则三角形是钝角或锐角三角形
＝sin²A＋sin²B＋sin²(A+B)
＝sin²A＋sin²B＋(sinAcosB+cosAsinB)²
＝sin²A＋sin²B＋sin²Acos²B＋cos²Asin²B＋2sinAcosAsinBcosB
＝sin²A＋sin²B＋(1-cos²A)cos²B＋cos²A(1-cos²B)＋2sinAcosAsinBcosB
＝2-2cos²Acos²B＋2sinAcosAsinBcosB
＝2-2cosAcosB(cosAcosB-sinAsinB)
＝2-2cosAcosBcos(A+B)
＝2+2cosAcosBcosC
所以,若sin²A+sin²B+sin²C=2,则cosAcosBcosC=0,其中一个角是直角,所以△ABC是直角三角形
PS：类似的,若sin²A+sin²B+sin²C＜2或sin²A+sin²B+sin²C＞2,则三角形是钝角或锐角三角形
1年前
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