如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=CC1，M为AB的中点．

解题思路：（1）连接AC1，交A1C于O点，连接OM．可证出OM是△A1CB的中位线，得OM∥BC1，结合线面平行的判定定理，即可得到BC1∥平面MA1C；（2）分别以CA、CC1、CB为x、y、z轴，建立如图空间直角坐标系．设AC=1，得出C、A、A1、C1、B各点的坐标，从而得到AA1、AB的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，算出平面AA1B1B的法向量为n=（1，0，1）．用空间向量的夹角公式算出BC1与n夹角的余弦值，即可得到直线BC1与平面AA1B1B所成角的正弦之值，从而得到直线BC1与平面AA1B1B所成角的大小．

（1）连接AC₁，交A₁C于O点，连接OM
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱
∴四边形AA₁C₁C是矩形，可得AO=OC₁
∵M为AB的中点，
∴OM是△A₁CB的中位线，可得OM∥BC₁，
又∵OM⊂平面MA₁C，BC₁⊄平面MA₁C
∴BC₁∥平面MA₁C；
（2）根据直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中AC⊥BC，可得CA、CB、CC₁两两垂直，
因此以C为原点，CA、CC₁、CB分别为x、y、z轴建立如图空间直角坐标系
设AC=1，可得C（0，0，0），A（1，0，0），A₁（1，1，0），C₁（0，1，0），B（0，0，1），
设平面AA₁B₁B的一个法向量为

n=（x，y，z），直线BC₁与平面AA₁B₁B所成角是α
∵

AA1=（0，1，0），

AB=（-1，0，1），
∴可得方程组



AA1•

n＝y＝0


AB•

n＝−x+z＝0，取x=1，得y=0，z=1
由此可得平面AA₁B₁B的法向量为

n=（1，0，1），
∵

BC1=（0，1，-1），
∴sinα=|cos＜

BC1，

n＞|=|


BC1•

n
|

BC1|•|

n||=[1/2]
∵直线BC₁与平面AA₁B₁B所成角α是锐角
∴α=30°，即直线BC₁与平面AA₁B₁B所成角为30°

点评：
本题考点： 直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．

考点点评： 本题给出特殊的直三棱柱，求证线面平行并求直线与平面所成角的大小，着重考查了直线与平面平行的判定和利用空间向量求直线与平面所成角等知识，属于中档题．