如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，E是AC中点．

解题思路：（Ⅰ）由ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，知AA₁⊥平面ABC，BE⊥AA₁．由△ABC是正三角形，E是AC中点，知BE⊥平面ACC₁A₁．由此能够证明平面BEC₁⊥平面ACC₁A₁．
（Ⅱ）连B₁C，设BC₁∩B₁C=D．由ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，知BCC₁B₁是矩形，D是B₁C的中点．由E是AC的中点，知AB₁∥DE．由此能够证明AB₁∥平面BEC₁．
（Ⅲ）作CF⊥BC₁于F，FG⊥BC₁于G；连CG．由平面BEC₁⊥平面ACC₁A，知CF⊥平面BEC₁，故FG是CG在平面BEC₁上的射影．根据三垂线定理，知∠CGF是二面角E-BC₁-C的平面角，由此能求出二面角E-BC₁-C的大小．

（Ⅰ）证明：∵ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，
∴AA₁⊥平面ABC，
∴BE⊥AA₁．
∵△ABC是正三角形，E是AC中点，
∴BE⊥AC，
∴BE⊥平面ACC₁A₁．
∴BE⊂平面BEC₁
∴平面BEC₁⊥平面ACC₁A₁．…（4分）
（Ⅱ）证明：连B₁C，设BC₁∩B₁C=D．
∵ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，
∴BCC₁B₁是矩形，D是B₁C的中点．
∵E是AC的中点，
∴AB₁∥DE．
∵DE⊂平面BEC₁，AB₁⊄平面BEC₁，
∴AB₁∥平面BEC₁．…（8分）
（Ⅲ） 作CF⊥BC₁于F，FG⊥BC₁于G；连CG．
∵平面BEC₁⊥平面ACC₁A，
∴CF⊥平面BEC₁…（9分）
∴FG是CG在平面BEC₁上的射影．
根据三垂线定理得，CG⊥BC₁．
∴∠CGF是二面角E-BC₁-C的平面角．…（10分）
设AB=a，∵
A1A
AB=

2
2，则A1A=

2
2a．
在Rt△ECC₁中，CF=
EC•CC1
EC1=

6
6a
在Rt△BCC₁中，CG=
BC•CC1
BC1=

3
3a．
在Rt△CFG中，∵sin∠CGF=
CF
CG=

2
2，
∴∠CGF=45°．
∴二面角E-BC₁-C的大小是45°…（12分）

点评：
本题考点： 与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．

考点点评： 本题考查证明平面BEC1⊥平面ACC1A1，求证AB1∥平面BEC1，求二面角E-BC1-C的大小．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点，易错点是∠CGF是二面角E-BC1-C的平面角的证明．解题时要认真审题，仔细解答．