已知函数f(x)＝13x3−2x2+ax(a∈R，x∈R)在曲线y=f（x）的所有切线中，有且仅有一条切线l与直线y=x

解题思路：（1）由已知可得函数的导函数，即切线斜率的函数，因为在曲线y=f（x）的所有切线中，有且仅有一条切线l与直线y=x垂直，所以导函数只有一个实根，进而易得a的值与切线1的方程．
（2）因为在曲线y=f（x）的所有切线中，有且仅有一条切线l与直线y=x垂直，显然切线斜率≥-1从而可以解出θ的范围．

（Ⅰ）∵f(x)＝
1
3x2−2x2+ax，
∴f^/（x）=x²-4x+a．（2分）
∵在曲线y=f（x）的所有切线中，有且仅有一条切线l与直线y=x垂直，
∴x²-4x+a=-1有且只有一个实数根．
∴△=16-4（a+1）=0，
∴a=3．（4分）
∴x=2，f(2)＝
2
3．
∴切线l：y−
2
3＝−(x−2)，即3x+3y-8=0．（7分）
（Ⅱ）∵f^/（x）=x²-4x+3=（x-2）²-1≥-1．（9分）
∴tanθ≥-1，（10分）
∵θ∈[0，π），
∴θ∈[0，
π
2)∪[
3π
4，π)（13分）

点评：
本题考点： 直线的点斜式方程；直线的倾斜角．

考点点评： 本题考查了直线的点斜式方程及直线的倾斜角，是一道综合题，应注意运用导函数求解．

（1）对函数求导，令导函数等于-1可求得
（2）求导函数的取值范围