已知F1，F2是椭圆的两焦点，P为椭圆上一点，若∠F1PF2=60°，则离心率e的范围是______．

解题思路：由题意，可设|PF₁|=m，|PF₂|=n． 在△PF₁F₂中，由余弦定理可知，4c²=m²+n²-2mncos60°．再由定义得出m+n=2a，然后进行恒等变形，将4c²=m²+n²-2mncos60°量m，n用a，c表示出来即可得出离心率的取值范围

设椭圆方程为
x2
a2+
y2
b2＝1（a＞b＞0），|PF₁|=m，|PF₂|=n．
在△PF₁F₂中，由余弦定理可知，4c²=m²+n²-2mncos60°．
∵m+n=2a，∴m²+n²=（m+n）²-2mn=4a²-2mn，
∴4c²=4a²-3mn．即3mn=4a²-4c²．
又mn≤(
m+n
2)2=a²（当且仅当m=n时取等号），
∴4a²-4c²≤3a²，∴
c2
a2≥
1
4，即e≥[1/2]．
∴e的取值范围是[[1/2]，1）．
故答案为[
1
2，1)

点评：
本题考点： 椭圆的简单性质．

考点点评： 本题考查椭圆的简单性质，解答的关键在 在△PF1F2中，利用余弦定理建立方程，再利用基本不等式得到关于a，c的不等式，本题综合性强，难度中等

设lPF1l=X,lPF2l=y
x+y=2a，x²+y²+2xy=4a²
x²+y²-2xycos60==4c²，x²+y²-xy=4c²
e=c/a=√（x²+y²-xy）/（x²+y²+2xy）=√1-3xy/（x²+y²+2xy）
3xy/（x²+y²+2xy）≤3/4，所以1-3xy/（x²+y²+2xy）≥1/4，1>e≥1/2

设椭圆焦点在x轴，方程为
x^2/a^2+y^2/b^2=1
设椭圆上的点P(acost,bsint)
F1(c,0),F2(-c,0)
cos∠F1PF2=(PF1^2+PF2^2-F1F2^2)/(2*PF1*PF2)
1/2=[(PF1+PF2)^2-2PF1*PF2-F1F2^2)/(2*PF1*PF2)
不能打字了。

设P（x，y).直线PF1 PF2的斜率为（y-c)/x、（y+c)/x。
tan∠F1PF2=【（y-c)/x-(y+c)/x]/[1+(y-c)/x*(y+c)/x]=根号3
根号3x²+根号3y²+2cx-根号3c²=0
∵y²=b²-b²x²/a²代入上式中整理得：根号3c&#...

他们的很麻烦,P点落在以F1F2为弦,角F1pF2=60的圆上,当P点与F2重合时,是一个极值,P点与圆上顶点重合时是一个极值,前者a=c c/a=1,因此,e<1 ,而后者,b=c*cot30, b=c*根号3

a=2c c/a=1/2 故1/2=

1年前