已知定义域为R的奇函数f（x）=2x−b2x+a．

解题思路：（I）由定义域为R的奇函数f（x）=

2x−b

2x+a

，可得f（0）=0，f（1）+f（-1）=0，解得b，a即可．
（II）由（I）可得：f（x）=

2x−1

2x+1

=1−

2

2x+1

，
利用y=2^x在R上单调递增，可得y=

1

2x+1

在R上单调递减，可得y=−

2

2x+1

在R上单调递增，即可得出f（x）=1−

2

2x+1

在R上单调性．
（III）由（II）可知：f（x）在R上单调递增．由f（x）是奇函数，可得-f（2t²-k）=f（k-2t²）．不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＞0恒成立⇔t²-t＞k-2t²在t∈R恒成立，由3t²-2t-k＞0在t∈R恒成立，因此△＜0，解出即可．

（I）∵定义域为R的奇函数f（x）=
2x−b
2x+a，
∴f（0）=[1−b/1+a]=0，f（1）+f（-1）=[2−b/2+a]+

1
2−b

1
2+a=0，
解得b=1，a=1．
（II）由（I）可得：f（x）=
2x−1
2x+1=1−
2
2x+1，
∵y=2^x在R上单调递增，∴y=[1
2x+1在R上单调递减，∴y=−
2
2x+1在R上单调递增，
因此f（x）=1−
2
2x+1在R上单调递增．
（III）由（II）可知：f（x）在R上单调递增．
由f（x）是奇函数，可得-f（2t²-k）=f（k-2t²）．
不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＞0恒成立⇔f（t²-2t）＞-f（2t²-k）=f（k-2t²）在t∈R恒成立⇔t²-t＞k-2t²在t∈R恒成立，
由3t²-2t-k＞0在t∈R恒成立，
∴△=4+12k＜0，解得k＜−
1/3]．即为所求．

点评：
本题考点： 函数奇偶性的性质；函数的单调性及单调区间；函数单调性的性质．

考点点评： 本题考查了函数的奇偶性、单调性、指数函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．