已知定义域为R的函数f（x）=−2x+b2x+1+a是奇函数．

解（1）因为f（x）是R上的奇函数，所以f（0）=0，即[−1+b/2+a＝0，解得b=1
从而有f(x)＝
−2x+1
2x+1+a]
又由f（1）=-f（-1）知[−2+1/4+a＝
−
1
2+1
1+a]，解得a=2…..（4分）
（2）由（1）知f(x)＝
−2x+1
2x+1+2=−
1
2+
1
2x+1
由上式易知f（x）在R上为减函数，f(x)＞−
1
2，所以k=-[1/2]．…．（8分）
（3）解法一：由（1）知f(x)＝
−2x+1
2x+1+2=−
1
2+
1
2x+1
由上式易知f（x）在R上为减函数，
又因f（x）是奇函数，从而不等式
f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0等价于f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（-2t²+k）
因f（x）是R上的减函数，由上式推得t²-2t＞-2t²+k
即对一切t∈R有3t²-2t-k＞0
从而△=4+12k＜0，解得k＜−
1
3 …．（13分）

点评：
本题考点： 指数函数的图像与性质．

考点点评： 本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，以及指数函数的性质．