江苏高考题!已知函数f(x)(x∈R)满足下列条件：对任意的实数x1,x2都有λ（x1-x2）²≤（x1-x2

思路分析:(1)利用不等式的传递性及反证法证明;(2),(3)都是由构造法,结合不等式的传递性证明. 证明:(1)任取x1,x2∈R,x1≠x2, 则由λ(x1-x2)2≤(x1-x2)［f(x1)-f(x2)］① 和|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|,② 可知,λ(x1-x2)2≤(x1-x2)［f(x1)-f(x2)］≤|x1-x2|·|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|2, 从而λ≤1. 假设有b0≠a0,使得f(b0)=0, 则由①式知0＜λ(a0-b0)2≤(a0-b0)［f(a0)-f(b0)］=0,矛盾. 所以不存在b0≠a0,使得f(b0)=0. (2)由b=a-λf(a),③ 可知(b-a0)2=［a-a0-λf(a)］2=(a-a0)2-2λ(a-a0)f(a)+λ2［f(a)］2.④ 由f(a0)=0和①式,得(a-a0)f(a)=(a-a0)［f(a)-f(a0)］≥λ(a-a0)2.⑤ 由f(a0)=0和②式知,［f(a)］2=［f(a)-f(a0)］2≤(a-a0)2.⑥ 则将⑤⑥代入④式,得(b-a0)2≤(a-a0)2-2λ2(a-a0)2+λ2(a-a0)2=(1-λ2)(a-a0)2. (3)由③式,可知［f(b)］2=［f(b)-f(a)+f(a)］2 =［f(b)-f(a)］2+2f(a)［f(b)-f(a)］+［f(a)］2 ≤(b-a)2-2·［f(b)-f(a)］+［f(a)］2 =λ2［f(a)］2-(b-a)［f(b)-f(a)］+［f(a)］2 ≤λ2［f(a)］2-·λ·(b-a)2+［f(a)］2 =λ2［f(a)］2-2λ2［f(a)］2+［f(a)］2 =(1-λ2)［f(a)］2.