设复数z满足条件|z|=1,求|z+2√2+i|的最大值和最小值.

hookerape 1年前 已收到1个回答 举报
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lawyer998 幼苗

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设z=cosθ+isinθ,
|z+2√2+i|^2
=|(cosθ+2√2)+i(sinθ+1)|^2
=(cosθ+2√2)^2+(sinθ+1)^2
=(cosθ)^2+4√2cosθ+8+(sinθ)^2+2sinθ+1
=4√2cosθ+2sinθ+10
=6(2√2/3*cosθ+1/3*sinθ)+10
=6sin(θ+φ)+10 其中sinφ=2√2/3,cosφ=1/3
因此上式最大值为16,最小值为4（注：上式是原式平方后的结果）
则原式的最大值为4,最小值为2

1年前 追问

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hookerape 举报

我设Z=x+yi，算到了10+（4√2）x+2y，后面怎么算啊，麻烦详解,谢谢

举报 lawyer998

建议做到这里还是设x=cosθ，y=sinθ，这样就与我上面的结果一致了，这样简单些。 如果非要用x，y做，那只能用条件极值了。 求u=10+（4√2）x+2y在x^2+y^2=1下的极值（用高数里的拉格朗日乘数法） F=10+（4√2）x+2y+λ(x^2+y^2-1) 则Fx=4√2+2λx=0 Fy=2+2λy=0 x^2+y^2-1=0 以上三式联立解出驻点 则可得到两个驻点：(-2√2/3,-1/3)，(2√2/3,1/3) 代入原式 对于第一个驻点：|z+2√2+i|=|4√2/3+2i/3|=√(32/9+4/9)=√4=2 对于第二个驻点：|z+2√2+i|=|8√2/3+4i/3|=√(128/9+16/9)=√16=4
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