已知数列{an}满足a1=1，a2=3，an+2=3an+1-2an（n∈N*）．

解题思路：（Ⅰ）利用等比数列的定义，构造

an+2−an+1

an+1−an

＝q≠0进行证明；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）可先求a_n+1-a_n=2ⁿ，利用叠加法可得a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁，从而可求a_n；
（Ⅲ）由已知可得2[（b₁+b₂+…+b_n）-n]=nb_n，利用递推公式可得2[（b₁+b₂+…+b_n+b_n+1）-（n+1）]=（n+1）b_n+1结合两式可证．

（Ⅰ）证明：∵a_n+2=3a_n+1-2a_n，
∴a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n），
∵a₁=1，a₂=3，
∴
an+2-an+1
an+1-an=2(n∈N*)．
∴{a_n+1-a_n}是以a₂-a₁=2为首项，2为公比的等比数列．
（Ⅱ） 由（Ⅰ）{a_n+1-a_n}是以a₂-a₁=2为首项，2为公比的等比数列
得a_n+1-a_n=2ⁿ（n∈N^*），
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）++（a₂-a₁）+a₁
=2^n-1+2^n-2++2+1
=2ⁿ-1（n∈N^*）．
（Ⅲ）证明：∵4b1-14b2-14bn-1=(an+1)bn，
∴4b1+b2+…+bn-n=2nbn
∴2[（b₁+b₂+…+b_n）-n]=nb_n，①
2[（b₁+b₂+…+b_n+b_n+1）-（n+1）]=（n+1）b_n+1．②
②-①，得2（b_n+1-1）=（n+1）b_n+1-nb_n，
即（n-1）b_n+1-nb_n+2=0．③
nb_n+2-（n+1）b_n+1+2=0．④
④-③，得nb_n+2-2nb_n+1+nb_n=0，
即b_n+2-2b_n+1+b_n=0，∴b_n+2-b_n+1=b_n+1-b_n（n∈N^*），
∴{b_n}是等差数列．

点评：
本题考点： 等差数列与等比数列的综合；等差关系的确定；等比关系的确定．

考点点评： 本小题主要考查数列、不等式等基本知识的综合运用，考查化归的数学思想方法在解题中的运用，考查综合解题能力．

证明你将3An+1分为2An+1和An+1，将An+1移动到等式的左端。后面你就发现证明出家了。在利用错位相减法求出An=（2^n）-1。第三问我看不懂