（2009•天门模拟）已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=[π/2]，AB=BC=2AD=4，E、F分别

（2009•天门模拟）已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=[π/2]，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，AE=x，G是BC的中点．沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF（如图）．
（Ⅰ）当x=2时，求证：BD⊥EG；
（Ⅱ）若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为f（x），求f（x）的最大值．

angelsolo 1年前已收到1个回答举报

Enriky 幼苗

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解题思路：（1）作DH⊥EF于H，连BH，GH．由面面垂直性质定理，证出DH⊥平面EBCF，从而得到EG⊥DH．由正方形BGHE中，EG⊥BH且BH∩DH=H，可得EG⊥平面DBH，从而证出BD⊥EG；
（2）由面面垂直性质定理证出AE⊥面EBCF，结合（Ⅰ）知AE

∥

GH，可得V_F-BCD=[1/3S△BFC•DH=

S△BFC•AE，因此f（x）=−

(x−2)2+

3]，利用二次函数的图象与性质可得当x=2时，即AE=2时函数有最大值为[8/3]．

（Ⅰ）作DH⊥EF于H，连BH，GH∵平面AEFD⊥平面EBCF，平面AEFD∩平面EBCF=EF，DH⊥EF∴DH⊥平面EBCF∵EG⊂平面EBCF，∴EG⊥DH又∵四边形BGHE为正方形，∴EG⊥BH∵BH∩DH=H，∴EG⊥平面DBH∵BD⊂平面DBH，∴EG⊥BD．（...

点评：
本题考点：直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积．

考点点评：本题给出平面图形的翻折问题，在所得几何体中证明线线垂直并求三棱锥体积的最大值，着重考查了空间线面垂直、面面垂直的判定与性质、锥体体积和二次函数的图象与性质等知识，属于中档题．

1年前

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