已知函数f（n）=logn+1（n+2）（n∈N*），定义使f（1）•f（2）…f（k）为整数的数k（k∈N*）叫做企盼

解题思路：由已知中函数f（n）=log_n+1（n+2）（n∈N^*），由对数运算的性质易得f（1）•f（2）…f（k）=log₂（k+2），若其值为整数，则k+2=2ⁿ（n∈Z），结合k∈[1，50]，我们易得到满足条件的数的个数．

∵函数f（n）=log_n+1（n+2）（n∈N^*），
∴f（1）=log₂3
f（2）=log₃4
…
f（k）=log_k+1（k+2）
∴f（1）•f（2）…f（k）log₂3•log₃4•…•log_k+1（k+2）=log₂（k+2）
若f（1）•f（2）…f（k）为整数
则k+2=2ⁿ（n∈Z）
又∵k∈[1，50]
故k∈{2，6，14，30}
故答案为：4

点评：
本题考点： 对数函数的定义域．

考点点评： 本题考查的知识点是对数的性质，其中换底公式的推论logab•logbc=logac是解答本题的关键．