（2012•江门一模）某学校每星期一供应1000名学生A、B两种菜．调查表明，凡在这星期一选A种菜的，下星期一会有20%

（2012•江门一模）某学校每星期一供应1000名学生A、B两种菜．调查表明，凡在这星期一选A种菜的，下星期一会有20%改选B种菜；而选B种菜的，下星期一会有30%改选A种菜．设第n个星期一选A、B两种菜分别有a_n、b_n名学生．
（1）若a₁=500，求a₂、a₃；
（2）求a_n，并说明随着时间推移，选A种菜的学生将稳定在600名附近．

yangnan0811 1年前已收到1个回答举报

简单LN 幼苗

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解题思路：（1）根据“凡是在这星期一选A菜的，下星期一会有20%改选B；而选B菜的，下星期一则有30%改选A”直接建立等式关系；
（2）根据题意可得a_n=a_n-1×（1-20%）+b_n-1×30%，可转换成{a_n-600}是以a₁-600为首项，

1/2]为公比的等比数列，可求出a_n，根据数列的解析式可求推出选A种菜的学生将稳定在600名附近．

（1）a₂=500×（1-20%）+（1000-500）×30%=550…（2分），
a₃=550×（1-20%）+（1000-550）×30%=575…（4分）．
（2）∀n∈N+，n＞1，a_n=a_n-1×（1-20%）+b_n-1×30%…（5分）；
=a_n-1×（1-20%）+（1000-a_n-1）×30%…（7分）
所以a_n-600=[1/2]（a_n-1-600）…（9分），
{a_n-600}是以a₁-600为首项，[1/2]为公比的等比数列…（10分），
∴a_n-600=（a₁-600）×[1
2n−1…（11分），
即a_n=600+（a₁-600）×
1
2n−1…（12分），
随着时间推移，即n越来越大时，
1
2n−1趋于0…（13分），
所以（a₁-600）×
1
2n−1趋于0，a_n趋于600并稳定在600附近…（14分）．

点评：
本题考点：数列的应用．

考点点评：本题主要考查了数列知识在生产实际中的应用，解题时要认真审题，理清题设中的数量关系，合理地运用数列知识进行求解，属于中档题．

1年前

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