已知函数f（x）=aex，g（x）=lna-ln（x+1）（其中a为常数，e为自然对数底），函数y=f（x）在A（0，a

（Ⅰ） f′（x）=ae^x，f′（0）=a，g′（x）=-[1/x+1]，g′（0）=-1，…（2分）
由已知a?（-1）=-1，∴a=1，
∴f（x）=e^x（x∈R），g（x）=-ln（x+1），（x＞-1）．…（4分）
（Ⅱ） 证明：令F（x）=f（x）+g（x）-2x=e^x-ln（x+1）-2x，（x≥1），
则F′（x）=e^x-[1/x+1]-2≥F′（1）=e-[5/2]＞0，
∴F（x）在[1，+∞）上递增，…（6分）
n∈N*?[1，+∞），
∴F（n）≥F（1）＞0，
即f（n）+g（n）＞2n．…（8分）
（Ⅲ） 答：不存在．
设P（x₁，y₁），P（x₂，y₂），（0＜x₁＜x₂）则M、N的横坐标都是
x1+x2
2，
且-lnx₁=-x₁²+ax₁，-lnx₂=-x₂²+ax₂，
f′（x-1）=?
1
x，h′（x）=-2x+a，
C₁在M处的切线斜率为k_M=?
2
x1+x2，C₂在N处的切线斜率为k_N=-（ x₁+x₂）+a，
令k_M=k_N，得?
2
x1+x2=-（ x₁+x₂）+a，…（10分）
?
2(x2?x1)
x1+x2＝?(
x22?
x21)+a（x₂-x₁）=（?
x22+ax2）-（?
x21+ax1）=-lnx₂+lnx₁=-ln
x2
x1，
∴ln
x2
x1-
2(x2?x1)
x1+x2=0，
令
x2
x1＞1，得lnt-
2(t?1)
t+1=0，…①…（12分）
设p（t）=lnt-
2(t?1)
t+1，（t＞1），
p′（t）=
1
t?
4
(1+t)2＝
(t?1)2
t(t+1)2＞0，
∴p（t）=在区间（1，+∞）递增，∴p（t）＞p（1）=0，与①矛盾，
∴不存在a，使得C₁在M处的切线与C₂在N处的切线平行．…（14分）