（文）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+2与直线4x-y+5=0切于点P（-1，1）．
（文）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+2与直线4x-y+5=0切于点P（-1，1）．（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）若x＞0时，不等式f（x）≥mx2-2x+2恒成立，求实数m的取值范围．
（理） 已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1底面边长AB=2，侧棱BB1的长为4，过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，交线段B1C于点F．以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系D-xyz，如图．
（Ⅰ）求证：A1C⊥平面BED；
（Ⅱ）求A1B与平面BDE所成角的正弦值的大小．
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解题思路：（文）（1）先对函数进行求导，根据函数f（x）与直线4x-y+5=0切于点P（-1，1），列出方程组即可求出a、b的值．
（2）先分离出参数m：m≤
，即m≤x+
−1令g(x)＝x+
−1（x＞0）只须求得g（x）的最小值即可即可得到m的取值范围．
（理）（Ⅰ）给出各点的坐标，求出两个向量
，
利用数量积公式即可证得垂直关系，从而即可求解；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
＝(−2，2，−4)是平面BDE的一个法向量．
＝(0，2，−4)，再代入A1B与平面BDE所成角的余弦公式即可求值．
（2）先分离出参数m：m≤
| x3−x2+x |
| x2 |
| 1 |
| x |
| 1 |
| x |
（理）（Ⅰ）给出各点的坐标，求出两个向量
| A1C |
| BD |
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
| A1C |
| A1B |
（文）（Ⅰ）f′（x）=3x2+2ax+b（2分）
由题意得：
f′(−1)＝4
f(−1)＝1即
3−2a+b＝4
−1+a−b+2＝1（4分）
解得：a=b=-1．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=x3-x2-x+2
∵f（x）≥mx2-2x+2，
∴mx2≤x3-x2+x．
∵x＞0，
∴m≤
x3−x2+x
x2，即m≤x+
1
x−1，（10分）
令g(x)＝x+
1
x−1（x＞0）∴g(x)≥2
x•
1
x−1＝2−1＝1，（12分）
当且仅当x＝
1
x时取等号，即x=1时，g（x）min=1，（14分）
∴m≤1（15分）
（理）（Ⅰ）D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A1（2，0，4），B1（2，2，4），C1（0，2，4），D1（0，0，4）（2分）
设E（0，2，t），则
BE＝(−2，0，t)，
点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程；向量语言表述线面的垂直、平行关系；用空间向量求直线与平面的夹角．
考点点评： 本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、导数在最大值、最小值问题中的应用、向量语言表述线面的垂直、平行关系、用空间向量求直线与平面的夹角等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于中档题．
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