若直线y=k(x-1)+1与圆x^2+y^2-4x-12=0的交点在第三象限,则实数k的取值范围是?

圆的标准方程为：(x-2)²+y²=16
圆心是(2,0),半径r=4,
画出草图可知：圆与x轴负半轴的交点为A(-2,0),与y轴负半轴的交点为B(0,-2√3)
圆在第三象限的部分就是夹在A,B这两点之间的弧.
直线y=k(x-1)+1过定点M(1,1)
（目测你题目的意思是直线与圆的其中一个交点在第三象限,因为不可能两个交点都在第三象限的）
则要使直线与圆的交点有一个在第三象限,则直线要与劣弧AB相交（不包含A,B）
考虑临界情况：K(MA)=(1-0)/(1+2)=1/3,K(MB)=(1+2√3)/(1-0)=1+2√3
所以,实数k的取值范围是：1/3

圆心(2.0) r=4
直线y=k(x-1)+1恒过点（1,1），在圆内
数形结合一下
圆与y轴的交点为（0,2√3），（0,-2√3）
过点（1,1）和（0,2√3）的直线斜率为-（2√3-1）
过点（1,1）和（0,-2√3）的直线斜率为（2√3+1）
所以-（2√3-1）＜k＜2√3+1
很高兴为你解答，希望对你有帮助。有不明白的地方请...

x^2+y^2-4x-12=0 得（x-2)^2+y^2=8
圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(yo-b)(y-b)=r^2
(x0-2)(x-2)+yoy=8 则（0,2）切线斜率为1（0,-2）切线斜率为-1
所以1-k的绝度值<=2 得所以K>=-1 K<=3
K>=-1 K<=1