已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数，且a≠0），x∈R时，函数f（x）的最小值是f（-1）=0．

解题思路：（Ⅰ）根据函数f（x）=ax²+bx+1（a，b为实数，且a≠0），x∈R时，函数f（x）的最小值是f（-1）=0，可设f（x）=a（x+1）²=ax²+2ax+a，与函数f（x）=ax²+bx+1比较，即可得出f（x）的解析式；
（Ⅱ）先确定g（x）=（x+1）²-1的值域，根据g（x）=f（x）-1在区间[m，n]（m＜n）上的值域也为[m，n]，确定m≥-1，从而可得g（x）=f（x）-1在区间[m，n]上单调增，由此可求m和n的值．

（Ⅰ）由题意，函数f（x）=ax²+bx+1（a，b为实数，且a≠0），x∈R时，函数f（x）的最小值是f（-1）=0．
∴可设f（x）=a（x+1）²=ax²+2ax+a
与函数f（x）=ax²+bx+1比较可得a=1
∴f（x）的解析式为f（x）=（x+1）²；
（Ⅱ）g（x）=（x+1）²-1≥-1
∵g（x）=f（x）-1在区间[m，n]（m＜n）上的值域也为[m，n]，
∴m≥-1
∴g（x）=f（x）-1在区间[m，n]上单调增
∴

(m+1)2−1＝m
(n+1)2−1＝n
∴m，n是方程（x+1）²-1=x的两根
即m，n是方程x²+x=0的两根
∵m＜n
∴m=-1，n=0．

点评：
本题考点： 二次函数在闭区间上的最值；函数解析式的求解及常用方法；二次函数的性质．

考点点评： 本题重点考查函数的解析式，考查函数的单调性与值域，（2）问先确定函数的值域是关键．

（1）f(x)=ax^2+bx+1=a(x+b/2a)^2+1-b^2/4a
因为 函数f(x)的存在最小值为f(-1)=0，
则，f(x)开口向上，a>0,
对称轴x=-b/2a=-1,1-b^2/4a=0
解得，a=1,b=2
所以，f(x)=x^2+2x+1.
(2)g(x)=...

⑴f(-1)=a-b+1=0 且，-b/2a=-1 则a=1 b=2 ∴f(x)=x²＋2x＋1
⑵g（x）=f（x）-1= x²＋2x
g（m）=m²＋2m=m ∴ m=0或m=-1
g（n）=n²＋2n=n ∴n=0或n=-1