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(1)∵f(x)=ax+ex(a∈R),
∴f′(x)=a+ex
①当a=0时,f(x)>0,函数无零点;
②当a>0时,f′(x)>0,f(x)是增函数,有一个零点;
③当a<0时,由f′(x)=a+ex=0,得x=ln(-a),
当x∈(-∞,ln(-a)),f(x)单调递减;当x∈(ln(-a),+∞),f(x)单调递增.
f(x)在两个零点,则f(ln(-a))=aln(-a)-a<0,
即ln(-a)-1>0,a<-e.
综上所述,若函数f(x)有且只有两个零点x1,x2(x1<x2),
则实数a的取值范围是(-∞,-e).
(2)①证明:当a=1时,f(x)=x+ex,
对于曲线y=f(x)上横坐标成等差数列的三个点A,B,C,
且横坐标依次增大,
由于此函数是一个单调递增的函数,
故由A到B的变化率要小于由B到C的变化率,
∴∠ABC一定是钝角,
∴△ABC为钝角三角形.
②△ABC不可能等腰三角形.
理由如下:
由于A到B的变化率要小于B到C的变化率,
由两点间距离公式得AB<BC,
∴△ABC不可能等腰三角形.
点评:
本题考点: 利用导数研究函数的单调性;函数零点的判定定理.
考点点评: 本题重点考查利用导数研究函数的性质,利用函数的性质解决不等式、方程问题.重点考查学生的代数推理论证能力.解题时要认真审题,注意导数性质的合理运用
1年前
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(2012•福建)已知函数f(x)=ex+ax2-ex,a∈R.
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