海角弄潮儿 幼苗
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& |
f(x2)+a |
x2 |
f(x)+a |
x |
(1)f(x)=ex-x-2,f′(x)=ex-1;
∴-1≤x<0时,f′(x)<0;0<x≤1时,f′(x)>0;
∴x=0时f(x)取最小值f(0)=-1.
∴函数f(x)在区间[-1,1]的最小值是-1.
(2)f′(x)=ex+a;
∴①当a≥-1时,∵x>0,∴ex>1,∴ex+a>0;
∴f(x)在(0,+∞)上单调递增;
②当a<-1时,0<x<ln(-a)时,f′(x)<0,∴函数f(x)在(0,ln(-a))上单调递减;
x>ln(-a)时,f′(x)>0,∴函数f(x)在[ln(-a),+∞)上单调递增.
(3)由已知条件得:
&;f(x1)+ax1<
f(x2)+a
x2;
令g(x)=
f(x)+
&;ax=
ex+ax−2+a
x,则函数g(x)在(0,+∞)上为增函数;
∴f′(x)=
xex−ex+2−a
x2≥0;
∴xex-ex+2-a≥0;
令h(x)=xex-ex,∴h′(x)=xex>0;
∴h(x)在(0,+∞)上为增函数;
∴h(x)>h(0)=-1;
∴2-a≥1;
∴a≤1.
∴a的取值范围是(-∞,1].
点评:
本题考点: 利用导数求闭区间上函数的最值.
考点点评: 考查函数的导数符号和函数单调性的关系,根据函数单调性求最小值,而第三问由原不等式得到:&;f(x1)+ax1<f(x2)+ax2是求解本问的关键.
1年前
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(2012•福建)已知函数f(x)=ex+ax2-ex,a∈R.
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