已知点P是椭圆 x 2 16 + y 2 12 =1(y≠0) 上的动点，F 1 ，F 2 为椭圆的两个焦点，O是坐标原
已知点P是椭圆
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如图，延长PF 2 ，F 1 M，交与N点，∵PM是∠F 1 PF 2 平分线，且F 1 M⊥MP，
∴|PN|=|PF 1 |，M为F 1 F 2 中点，
连接OM，∵O为F 1 F 2 中点，M为F 1 F 2 中点
∴|OM|=
1
2 |F 2 N|=
1
2 ||PN|-|PF 2 ||=
1
2 ||PF 1 |-|PF 2 ||
∵在椭圆
x 2
16 +
y 2
12 =1(y≠0) 中，设P点坐标为（x 0 ，y 0 ）
则|PF 1 |=a+ex 0 ，|PF 2 |=a-ex 0 ，
∴||PF 1 |-|PF 2 ||=|a+ex 0 +a-ex 0 |=|2ex 0 |=|x 0 |
∵P点在椭圆
x 2
16 +
y 2
12 =1(y≠0) 上，∴|x 0 |∈[0，4]，
又∵当|x 0 |=4时，F 1 M⊥MP不成立，∴|x 0 |∈[0，4）
∴|OM|∈[0，2）
故答案为[0，2）
∴|PN|=|PF 1 |，M为F 1 F 2 中点，
连接OM，∵O为F 1 F 2 中点，M为F 1 F 2 中点
∴|OM|=
1
2 |F 2 N|=
1
2 ||PN|-|PF 2 ||=
1
2 ||PF 1 |-|PF 2 ||
∵在椭圆
x 2
16 +
y 2
12 =1(y≠0) 中，设P点坐标为（x 0 ，y 0 ）
则|PF 1 |=a+ex 0 ，|PF 2 |=a-ex 0 ，
∴||PF 1 |-|PF 2 ||=|a+ex 0 +a-ex 0 |=|2ex 0 |=|x 0 |
∵P点在椭圆
x 2
16 +
y 2
12 =1(y≠0) 上，∴|x 0 |∈[0，4]，
又∵当|x 0 |=4时，F 1 M⊥MP不成立，∴|x 0 |∈[0，4）
∴|OM|∈[0，2）
故答案为[0，2）
1年前
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