鬼谷子出题给孙膑和庞涓一天,鬼谷子随意从2-99中选取了两个数.他把这两个数的和告诉了庞涓,把这两个数的乘积告诉了孙膑.

设两数为X与Y,两数和为A,积为B1、庞涓不知道此数,说明A不是2+3,2+4,99+98,99+97,即5,6,197,196.
2、庞涓知道孙膑不知道,首先说明B并非两质数之积,换句话说,B至少有三个质因数才会导致孙膑不知如何拆分.由于大于6而小于200的偶数必可表为两质数的和（著名的1+1问题）,故庞涓所知的A必为奇数,否则有可能A能表成两质数的和,则庞涓不敢称知道孙膑不知道（怎么听起来这么别扭呢）.站在我们的角度,可以推论两点：A为奇数,拆分时必有一奇一偶,因此B必有质因数2,且A-2为合数（只有2是偶质数,其余情况下,必有一数为大于2的偶数,两数乘积必至少有三个质因数）；B的最大质因数必小于50,否则孙将能确定此两数为何,庞不敢称知道孙不知道.而又由最大质因数小于50可以推知,A的值必小于53+2=55（53为大于50的最小质数）,因为任何大于等于55的数都可以表示为53+(55-X),在这种情况下,孙膑必然知道如何拆分B.——当然,这个分析过程孙也知道,因此我们能想到的,以这两位的才智,当然也能想到.现在孙膑也知道这个情况,而他比我们还更知道多一个B.
3、在庞涓说完第一番话后,孙膑得到的信息是：A为小于55且大于5的奇数,A-2为合数.孙膑在得到这些信息后说“我知道了”.对我们第三方来说,提供了一些信息.因为这两个数为一奇一偶,如果孙膑要确定自己知道这两个数,只有三种可能.一是A为一个奇质因数与2的次方数（次方数大于1）的和,二是A为一个大于55-2=53一半的奇质因数（这个因数显然只可能有一个）与另一个偶数的和——在这两种情况下,孙膑都能确定这两个数.还有一种可能就是当B的所有拆分只有一种情况在A可能的取值中时,孙膑才能确定这两个数.
4、当孙膑说“我知道了”后,庞涓明白孙膑为什么说“我知道了”,因为他也知道只有以上三种情况才能保证孙膑知道.然后庞涓根据自己已知的A值来判断孙膑说的是哪种情况,并得到唯一可能值.
下面穷举可能的A值：11、17、23、27、29、35、37、41、47、51、53.
当B的最大奇质因数大于53的一半且小于53时,即B的最大奇质因数为29、31、37、41、43、47的情况下,显然A大于29+2=33.这时有既有可能把A拆分为一个大奇质因数与一个偶数的和,也有可能拆为2的次方（次方数大于1）与一个奇质数的和,且只能有唯一一种拆法,庞涓才可确定是哪两个数,也就是说他才能说“我也知道了”.首先在不考虑上述第三种情况时先排除一部分可能的A值.
一个个排除
11=2^2+7=2^3+3,不唯一,被排除（有两种情况满足上面第一个条件） 17=2^2+13=2^3+3*3,有可能,先保留 23=2^2+19=2^3+3*5=2^4+7,不唯一,被排除 29=2^2+5*5=2^3+3*7=2^4+13,有可能,先保留 35=2^2+31=2^3+3*3*3=2^4+19,不唯一,被排除 37=2^2+3*11=2^3+29=2^4+11,不唯一,被排除 41=2^2+37=2^3+3*11=2^4+5*5=2^5+3*3,有可能,先保留 47=2^2+43=2^3+3*13=2^4+31=2^5+3*5,有可能,先保留 51=2^2+47=2^3+43=2^4+5*7=2^5+19,不唯一,被排除 53＝2^2+7*7=2^3+5*9=2^4+37=2^5+3*7,有可能,先保留
这样,第一轮被保留下来的A值为：17、29、41、47、53.这时,站在庞涓的角度,后面三个数虽然只有一个可能被拆为2的次方与某一个奇质数的和,但也可能被拆为一个小于53且大于27（27=53/2）的奇质数与另一个偶数的和,而在这两种情况下,孙膑都能确定这两个数,但庞涓却不能确定,因此这三个数也被排除了.因此最的只剩下17与29这两个数了是有可能的A值了.
然后对17与29进行和项拆分发现：对17进行拆分时,只有4与13这种情况使所有其它的B积项拆分后的和都不在A的可能值中,而其它的拆分都有可能有两种在以上的A值中.对29进行拆分后发现,没有一种唯一的情况使29的拆分成的数的积B再进行积拆分后的和有不同个数的A值,因此29也不符合条件.故,唯一符合条件的A值为17,而拆分后的值为4与13.