磊宏伟 幼苗
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证明:(1)记S=Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn,
倒序则S=nCnn+(n-1)Cnn-1+…+Cn1 (2分)
∴2S=ncn0+nCn1+…+nCnn=n•2n
∴S=n•2n-1 …(2分)
(2)Cn0+2Cn1+3Cn2+…+(n+1)Cnn
=(Cn0+Cn1+…Cnn)+(Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn) (1分)
=2n+n•2n-1<1000
由于7•26+27=576<1000<1280=8•27+28,
∴n=7…(2分)
977=(99-2)7=C70•997-C71•996•2+…+C76•99•26-C77•27
∴97n除以99的余数即为-C77•27除以99的余数70(2分)
证明:(3)∵(1+[1/n])n=cn0+Cn1•[1/n]+Cn2•(
1
n)2+…+Cnn•([1/n])n>cn0+Cn1•[1/n]=2 (1分)
∵cn0+Cn1•[1/n]+Cn2•(
1
n)2+…+Cnn•([1/n])n
=2+
n(n−1)
2!•[1
n2+…+
n(n−1)(n−1)…2×1/n!]•[1
nn
<2+
1/2!]+…+[1/n!](2分)
<2+[1/1×2]+…+[1
(n−1)n
=2+(1-
1/2])+…+([1/n−1]-[1/n])
=3-[1/n]<3 (2分)
点评:
本题考点: 二项式定理的应用.
考点点评: 本题主要考查二项式定理的应用,属于中等难度题型,在处理有关二项式定理有关系数问题时要熟记结论以及性质.
1年前
你能帮帮他们吗