已知f（x）=x+asinx．（Ⅰ） 若a=2，求f（x）在[0，π]上的单调递减区间；（Ⅱ）当常数a≠0时，

解题思路：（Ⅰ）把a=2代入f（x），然后对f（x）进行求导，可以令f′（x）＜0，解出x的范围即可；
（Ⅱ）常数a≠0时，设g（x）=

f(x)

x

，利用求导法则，对g（x）进行求导，求出x在[0，π]上的极值点，利用导数研究其最值问题；

（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x+2sinx，所以f′（x）=1+2cosx，
当f′（x）＜0，cosx＜-[1/2]，
∴f（x）在[0，π]上单调递减区间为[[2/3π，π]．
（Ⅱ）g（x）=
f(x)
x]=1+[asinx/x]，
g′（x）=
a(xcosx−sinx)
x2，
记h（x）=xcosx-sinx，x∈（0，π），
h′（x）=-xsinx＜0，对x∈（0，π）恒成立，
∴h（x）在x∈（0，π）上是减函数，
∴h（x）＜h（0）=0，即g′（x）＜0，
①当a＞0时，g（x）=
f(x)
x在（0，π）上是减函数，得g（x）在[[π/6]，[5π/6]]上为减函数，
∴当a=[π/6]时，g（x）取得最大值1+[3a/π]，
②当a＜0时，g（x）=
f(x)
x在（0，π）上是增函数，得g（x）在[[π/6]，[5π/6]]上为增函数，
∴当x=[5π/6]时，g（x）取得最大值1+[3a/5π]；

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 此题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值问题，解题的关键是能够对g（x）进行正确求导，此题是一道中档题；