1.质量为m的小球被系在轻绳的一端,在竖直平面内作半径为R的圆周运动,运动过程中,小球受到空气阻力的作用,在某一时刻小球

设“某一时刻小球通过轨道最低点时绳子的拉力为7mg”的时刻,小球的速度是V1
则由向心力公式　得　
F向1＝F拉1－mg＝m*V1^2 / R
F拉1＝7mg
得　m*V1^2＝6 mgR
由“此后小球继续做圆周运动,转过半个圆周恰好通过最高点”知,这时绳子拉力恰好等于0,重力完全提供向心力,设这时的速度是 V2
则有　mg＝m*V2^2 / R
得　m*V2^2＝mgR
从上述的最低点经半个圆周到最高点的过程中,由动能定理　得
W重＋W阻＝（m*V2^2 / 2）－（m*V1^2 / 2）
－mg*(2R)－W克阻＝（m*V2^2 / 2）－（m*V1^2 / 2）
－mg*(2R)－W克阻＝（mgR / 2）－（6 mgR / 2）
得所求的克服阻力所做的功为　W克阻＝mgR / 2

恰好通过最高点说明最高点速度为√（gR），最低点速度为√（6gR），
根据动能定理有
-Wf-mg*2R=1/2m*gR-1/2m*6gR，
解得Wf=1/2mgR

最高点：mg=mv2/R
最低点：7mg-mg=mv'2/R
由最低至最高根据动能定理：-mg2R-Wf=1/2mv2-1/2mv'2
由以上三式得：Wf=1/2mgR