2014郴州已知抛物线y=ax平方+bx+c

问题
已知：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=-1,与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,其中A（-3,0）、C（0,-2）．（1）求这条抛物线的函数表达式.（2）已知对称轴上存在一点P,使得△PBC的周长最小.请求出点P的坐标.（3）若D为线段OC上一动点,（不与O、C重合）过D做OE∥PC交x轴于点E,连接PO、PE．设CD长为m,△PDE的面积为S,求S与m之间的关系式,试说明S是否有最大值,若存在,并求出最大值；若不存在,请说明理由．
（1）由题意得b/2a＝1
9a−3b+c＝0
c＝−2
解得a＝2 /3
b＝4 /3
c＝−2
∴此抛物线的解析式为y=2/3x²+4/3x-2
（2）连接AC、BC．


因为BC的长度一定,
所以△PBC周长最小,就是使PC+PB最小．
B点关于对称轴的对称点是A点,AC与对称轴x=-1的交点即为所求的点P．
设直线AC的表达式为y=kx+b,
则−3k+b＝0
b＝−2
解得k＝−2/3
b＝−2
∴此直线的表达式为y=-2/3x-2,
把x=-1代入得y=-4/3
∴P点的坐标为（-1,-4/3）．

（3）S存在最大值,
理由：∵DE∥PC,即DE∥AC．
∴△OED∽△OAC．
∴OD/OC＝OE/OA
即(2−m ) /2 ＝OE /3
∴OE=3-3/2m,OA=3,AE=3/2 m,
∴S=S△OAC-S△OED-S△AEP-S△PCD
=1/2×3×2-1/2 x（3-3/2 m）×（2-m）-1 /2×3 /2 m×4/3-1/2×m×1
=-3/4m2+3/2m
=-3 /4（m-1）²+3 /4
∵−3 /4 ＜0
∴当m=1时,S最大=3/4