（2013•曲靖）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+4与坐标轴分别交于A、B两点，过A、B两点的抛物线为y=-

解题思路：（1）首先求出点A、B的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）设点C坐标为（m，0）（m＜0），根据已知条件求出点E坐标为（m，8+m）；由于点E在抛物线上，则可以列出方程求出m的值．在计算四边形CAEB面积时，利用S四边形CAEB=S△ACE+S梯形OCEB-S△BCO，可以简化计算；（3）由于△ACD为等腰直角三角形，而△DBE和△DAC相似，则△DBE必为等腰直角三角形．分两种情况讨论，要点是求出点E的坐标，由于点E在抛物线上，则可以由此列出方程求出未知数．

（1）在直线解析式y=x+4中，令x=0，得y=4；令y=0，得x=-4，
∴A（-4，0），B（0，4）．
∵点A（-4，0），B（0，4）在抛物线y=-x²+bx+c上，
∴

−16−4b+c＝0
c＝4，
解得：b=-3，c=4，
∴抛物线的解析式为：y=-x²-3x+4．

（2）设点C坐标为（m，0）（m＜0），则OC=-m，AC=4+m．
∵OA=OB=4，∴∠BAC=45°，
∴△ACD为等腰直角三角形，∴CD=AC=4+m，
∴CE=CD+DE=4+m+4=8+m，
∴点E坐标为（m，8+m）．
∵点E在抛物线y=-x²-3x+4上，
∴8+m=-m²-3m+4，解得m₁=m₂=-2．
∴C（-2，0），AC=OC=2，CE=6，
S_{四边形CAEB}=S_△ACE+S_梯形OCEB-S_△BCO=[1/2]×2×6+[1/2]（6+4）×2-[1/2]×2×4=12．

（3）设点C坐标为（m，0）（m＜0），则OC=-m，CD=AC=4+m，BD=
2OC=-
2m，则D（m，4+m）．
∵△ACD为等腰直角三角形，△DBE和△DAC相似
∴△DBE必为等腰直角三角形．
i）若∠BED=90°，则BE=DE，
∵BE=OC=-m，
∴DE=BE=-m，
∴CE=4+m-m=4，
∴E（m，4）．
∵点E在抛物线y=-x²-3x+4上，
∴4=-m²-3m+4，解得m=0（不合题意，舍去）或m=-3，
∴D（-3，1）；
ii）若∠EBD=90°，则BE=BD=-
2m，
在等腰直角三角形EBD中，DE=
2BD=-2m，
∴CE=4+m-2m=4-m，
∴E（m，4-m）．
∵点E在抛物线y=-x²-3x+4上，
∴4-m=-m²-3m+4，解得m=0（不合题意，舍去）或m=-2，
∴D（-2，2）．
综上所述，存在点D，使得△DBE和△DAC相似，点D的坐标为（-3，1）或（-2，2）．

点评：
本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质、函数图象上点的坐标特征、待定系数法、相似三角形、等腰直角三角形、图象面积计算等重要知识点．第（3）问需要分类讨论，这是本题的难点．