已知函数f（x）=ax 2 +bx+c和函数g（x）=ln（1+x 2 ）+ax（a＜0）．

（Ⅰ）
①当 ，即a≤﹣1时，g′（x）≤0对x∈R恒成立，∴g（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减；
②当﹣1＜a＜0时，令g′（x）＞0，则ax ² +2x+a＞0
∴ ，
令g′（x）＜0，则ax ² +2x+a＜0
∴ 或 ，
∴ 上单调递增，在 和 上单调递减；
综上所述，当a≤﹣1时，g（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，
当﹣1＜a＜0时，g（x）在 上单调递增，
在 和 上单调递减．
（Ⅱ）证明：∵关于x的方程f（x）=x没有实数根
∴ax ² +bx+c=x没有实数根
∴ax ² +（b﹣1）x+c=0没有实数根
∴△=（b﹣1） ² ﹣4ac＜0
∵f（f（x））=x
∴a（ax ² +bx+c） ² +b（ax ² +bx+c）+c=x
∴[ax ² +（b﹣1）x+c][a ² x ² +a（b+1）x+b+ac+1]=0
∵ax ² +（b﹣1）x+c≠0
∴a ² x ² +a（b+1）x+b+ac+1=0
∵△=a ² （b+1） ² ﹣4a ² （b+ac+1）=a ² [（b+1） ² ﹣4（b+ac+1）]=a ² [（b﹣1） ² ﹣4ac﹣4]＜0
∴a ² x ² +a（b+1）x+b+ac+1=0无实根
∴方程f（f（x））=x也没有实数根；
（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知，当a=﹣1时，g（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，
当x∈（0，+∞）时，由g（x）＜g（0）=0
得：ln（1+x ² ）＜x，
∴
=lne，
∴ e