已知函数f（x）=bx，g（x）=ax2+1，h（x）=ln（1+x2）．（a，b∈R）

解题思路：（1）原不等式f（x）+g（x）≥0即ax²+bx+1≥0，由-1∈M，2∈M得

a−b+1≥0 4a+2b+1≥0

画出不等式组所确定的可行域，利用线性规划的方法即可求得z的取值范围；
（2）对F（x）求导数得F/(x)＝

2x

1+x2

+b＝

bx2+2x+b

1+x2

，下面对字母b进行分类讨论：当b=0时，F（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减；当b＜0时，F（x）在（-∞，+∞）上单调递减；当-1＜b＜0时，讨论函数F（x）的单调性即可．

（1）不等式f（x）+g（x）≥0即ax²+bx+1≥0
由-1∈M，2∈M得

a−b+1≥0
4a+2b+1≥0----------------（2分）
画出不等式组所确定的可行域如右图示：作平行线族b=3a-z
可见当a=-0.5，b=0.5时z有最小值，，z_min=-2--------------------（5分）
∴z的取值范围为z≥-2．----------------------------------------（6分）
（2）∵F（x）=bx+ln（1+x²）
∴F/(x)＝
2x
1+x2+b＝
bx2+2x+b
1+x2----------------（8分）
当b=0时，F/(x)＝
2x
1+x2＞0⇔x＞0
∴F（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减；-----------------（9分）
当b＜0时，由bx²+2x+b=0的判别式△=4-4b²=0，得b=-1∴F′（x）≤0
当b≤-1时，对x∈R恒成立
∴F（x）在（-∞，+∞）上单调递减；-----------------------（10分）
当-1＜b＜0时，由F′（x）＞0得：bx²+2x+b＞0
解得：
−1+
1−b2
b＜x＜
−1−
1−b2
b
由F′（x）＜0可得：x＞
−1−
1−b2
b或x＜
−1+

点评：
本题考点： 简单线性规划的应用；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、简单线性规划的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．