llkiss 春芽
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(1)∵函数h(x)=lnx-[1/2]ax2-2x的定义域为(0,+∞),
且函数h(x)存在单调递减区间,
∴h′(x)=[1/x]-ax-2<0在(0,+∞)有解,
即-ax2-2x+1<0在(0,+∞)有解,
故a>[1
x2−
2/x]=([1/x]-1)2-1在(0,+∞)有解,
∴a>-1,
故a的范围为(-1,+∞).
(2)证明:若a=0,b=1时,令h(x)=f(x)-g(x)=ln(x+1)-x,
则h′(x)=[1/x+1]-1=[−x/x+1],
当x>0时,h′(x)<0,h(x)单调递减;当-1<x<0时,h′(x)>0,h(x)单调递增.
则x=0为极大值点,也为最大值点,
故最大值为h(0)=0,
故h(x)≤h(0).
即有f(x)-g(x)≤0对于x∈(-1,+∞)成立.
点评:
本题考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性.
考点点评: 本题考查导数的运用:求单调区间和求极值、最值,注意存在与恒成立的区别,属于中档题.
1年前
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(2014•梅州一模)已知函数f(x)=ax2+ln(x+1).
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