已知：二次函数f（x）=ax 2 +bx+1，其中a，b∈R，g（x）=ln（ex），且函数F（x）=f（x）-g（x）

（I） 由已知，∵f（x）=ax ² +bx+1，g（x）=ln（ex），
∴函数F（x）=f（x）-g（x）=ax ² +bx+1-ln（ex）
∴F′（x）=
2 ax 2 +bx-1
x (x＞0) ，
∵F（x）=f（x）-g（x）在x=1处取得极值
∴F′（1）=0，∴b=1-2a，
∴F′（x）=
2a(x+
1
2a )(x-1)
x ，
∴-
1
2a ≠1，∴a ≠-
1
2
（II）由题意得：方程kx=ax ² +（1-2a）x+1在x∈[1，2]时总有解，
∴k=
ax 2 +(1-2a)x+1
x ，即k=ax+
1
x +1-2a，
∵当a＜0时，k=ax+
1
x +1-2a在x∈[1，2]时单调递减，∴k≥
3
2 ，
当0＜a＜
1
4 时，由k′=a-
1
x 2 ＜0 ，k=ax+
1
x +1-2a在x∈[1，2]时单调递减，∴k≥
3
2 ，
当
1
4 ≤a≤1时，由ax+
1
x +1-2a≥2
a +1-2a（当且仅当x=
1

a 时，取“=”）得k≥2
a +1-2a，
当a＞1时，k=ax+
1
x +1-2a在x∈[1，2]时单调递增，∴k≥2-a．
∴要使得直线l：y=kx（k∈R）与函数y=f（x）在x∈[1，2]上的图象恒有公共点
实数k应取
3
2 （a＜0）、2
a +1-2a（
1
4 ≤a≤1），2-a（a＞1）三者中的最大值，
∵2
a +1-2a=-2 (
a -
1
2 ) 2 +
3
2 ≤
3
2 （
1
4 ≤a≤1），又2-a＜1（a＞1），
∴k的最小值为
3
2 ．
（III）∵F（x）=ax ² +（1-2a）x+1-lnx，
当a∈（0，2）时，∵x∈[1，2]，∴由（x+a）F（x）≥0得F（x）≥0，
∵F′（x）=
2a(x+
1
2a )(x-1)
x ，
∴x∈[1，2]时，F′（x）＞0，函数y=F（x）单调递增，∴F（x） _min ≥F（1）=1-a≥0，
∴a∈（0，1]时成立．…（13分）
当a∈[-1，0）且a≠-
1
2 时，∵F（1）=1-a≥0，F（2）=2-ln2≥0，类似地由单调性证得F（x）≥0，
又x+a≥0，∴（x+a）F（x）≥0成立，
当-2＜a＜-1时，（x+a）F（x）≥0等价于

-a＜x≤2
F(x)≥0 或

1≤x≤-a
F(x)≤0 ．
由上可知，此时不成立．
综上，存在符合条件的a，其所有值的集合为[-1，-
1
2 ） ∪(-
1
2 ，0)∪(0，1]