函数f(x)在[1,2]有二阶导数,f(2)=0,F(x)=(x-1)²f(x).则f``(x)在[1,2]上

函数f(x)在[1,2]有二阶导数,f(2)=0,F(x)=(x-1)²f(x).则f``(x)在[1,2]上是否有零点?
qianshanmuxue 1年前 已收到2个回答 举报
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挑灯看戏 幼苗

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F(x)在[1,2]上连续,（1,2）内可导且F(1)=F(2)
由罗尔定理,至少存在一点x.∈(1,2],使F`(x.)=0,
又F`(x)=2(x-1)f(x)+(x-1)²f`(x).则F`(x.）=F`(1)
则,F`(x)在[1,x.]上满足罗尔定理条件,
所以,至少存在x`∈（1,x.）∈(1,2)上使F``（x`)=0,
所以至少存在一个零点

1年前

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kan668 幼苗

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有零点。
简证：第一步，对F（x）在[1,2]上用罗尔定理，可得，
至少存在一点ξ属于（1，2），使得F′（ξ）=0；
第二步，注意到F′（x）=2（x-1）f（x）+（x-1）（x-1）f′（x），
F′（1）= F′（ξ）=0，
对F′（x）在[1, ξ]上用罗尔定理，可得，
至少存在一点η属于（1，ξ）含于（1，2）含于[1，2]，使得F′′（...

1年前

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